泛函分析及其在自动控制中的应用
泛函分析及其在自动控制中的应用，韩崇昭，1991控制理论所硏究的闩越,可以概括为系统分析、系统踪合建模和优化。系统分包括系统的稳定性分析能控能观性分析、鲁棒性分析等,主要是分用以描述系统行为的算子的特生。传统的分析方法是实用的但只限于某些特定的系纯类型.例如传统的枫域分忻法只阳于讨论单输入单输出约线性定常橤统,而泛函分析所提供的分析方法,有可能村包括多输入多输出线性时变系统、分和参觐线性系统,以及某忠类型的柞线性系统进行统…的处理,从而获得更加一般的论。系统的综合包插挖湖器和补偿器的设计等,使系流得以镇定或获得某种性能,这是分析的逆河题。传统的综合屴沄礻仪费时费事丶而且解决问题的范園比较狭窄:现代的综合方法倾向干构造能用计算机灾现的某些算法迭代算法或递推算法的收敏性分析,以及闭环控制的稳定性分衔等,只有借助泛图分析所提供的工其,才有可能使问题得以解决系统建撓和系统的最优控制,一般是在某些约束条件下,对某个泛函拈标进行优化的问题,这更是泛函分析研究惹围闪的问题绕上所泛函分析已渗逶到控制理论和系统科学的各个分支。“饿夯千里日,更上一层楼”,控制斑论研究者只冇掌握泛函分析这…工具,才有可能…览当令研究潮流中“群峰竞秀,万水争流"“的局面第二章代数基础鉴于工科人学亩动控制类专业研究生#不具备系统的拙象代数的知识,而泛函分析这门课程又经带涉及抽象代数的某些基本慨念,所以首先在本章对必要的代数基础知识进行简要介绍,作为学习泛函分枥的预备知识。§2.]集合与映射2.1.1集合集合是数学上最基本門概念,难以绐出确切的定义:一般说:所谓集合就是指具有其种属性的事物全体。构成集合的每个事物称为该集合的元蓊。果合也简称集,其元素也简称元集合可用列其历有元素或江明其暑性来表示如A=i1,nz,…,n},A={a:a具有属性P}如果个集合由有限多个元构成,称之为有限集;如果由无限多个元构成,称之为元限集不含汪何元素的集合称为空集记为这,只含一个元的集合称为单点集。用r∈A表示“?是4中的元”或a属于A”;用a表示a不是A中的元"哎“a不属于有两个集合A和B:若A中的所有元到为B中的元,则称为A是B的子集或A蕴含于B哎包含A,记为A≌或BA任集A必是共自身的了集,而空集又是仕意集A的子集若集A是集R的子集:而B中至少有一个元不屑于4,则称A是程的真子集,或B真包含A,记为心二BBA。若集A是集B的了集,且B也是A的子策,闻称集A与集B相等,记为A=B2这个定义也经出用作集合相等的证明方法即任取∈A,得x∈B则推知4≌B;其次任取xB证得∈小则描知B≌A;从而证明A=B。在以后的证明中,我打经常采用某些撰用符号:“"表示“所有的",“彐"表示“存在”,“→“表示“由左面的结论推出岩面的结论”“台”表示左右两面相互推出”以柴合为元素的集合秋为集类。如字={A,B,C}其中的元A,B,C均是集合,是集类。A、B两个集合的所有元素共同构成的集合称为A和B的并集,记为AUB={2:x∈A或x∈开2。1,2桌合A1,A:;…,A的并業定义为U4=A∪AU…∪4一{x:xEA,或x∈A,“x∈A}(2.1.3)A、B两个集合的公共元素构成的集合称为A和B的交集,记为A∩B={x:x∈A且芏.B〔2.I.4集合A1,A2,A的交集定义为门A=A∩A∩“∩A={x:x∈A且x∈12“且xEA}(2.!5如果集合A与集合升没有公共元家,即A∩B=C,则称A与R不相交。属于集A而不属于集B的所有元构成的集合称为A与B的差集记为AB={xgxA旦x2.⊥,5巢合A和F的对称差记为A△B-(APU(4)2.7设U是一↑特定的集合,AS;称EA为A关于U的补集.记为A此时有AUA=UA∩A=2.1蘸2..9对于集类也可以定义并、交运算。设是一个集类其元的并和交分别为U{BB∈}={z:B∈郾,使z∈B2.1.10∩{B:B∈}{x;B∈密,使r∈乃2.1.11)例211设R表示实数集,R=RXR表示实数序对(x,y)的集合,集合A={(x,g)mx;∈R固定}表示欧氏平面R2上y=m直线上的总集;所有这些集合(直线〕构成一个集类x={A:mER在此情况下,集类m的交集为∩ FRA={(0,0)},即R的坐标原点;其并集为∪v∈RA=R2{0,y):|l|>0}即除去坐标纵轴但保留坐标原点整个R2平面。前面绐出的集合运算具有如下性质〔1)幂等律:AA=A,A∩A=4;〔)交换律:AB=BJA,A∩B-B∩A;I)结合律:A∪(BU)=(4∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C;Ⅳ)分配律:4U(B∩C)=(AUB∩(AUc),A(BUC)-(Anu(A门〔V)恒等律:A∪C=A,A∩U=手AUC=[, A=另外还有一些恒等关系式Ⅵ) de morgan律:A(B)-(AB)∩AC),A(BNC)=(AB)U:A〔〕对偶律:(UAA,(∩A=UⅧ)互补律:AAU,A∩A=8下面只证明(W)和(W)其余留给读者验证W)的证明:∈A(B)∈A,(BC)∈AB且x∈C∈AB且tAr∈AB)n(4C)同理可证第二式。()的证明;*∈(∪A)=∈U,艺点UA+2A且2年A1“且卖Az∈出且x∈A」且x∈术台∈∩4:同理可证第二式渠合A和B的笛卡尔积就是由序对构成的集∈Ab∈2.1,12儿素n和b称为序对(a,b)的分量。如果两个厅对的对应分垤相等则称其相等例如,(x,y)z(n-a,且y一b般情况下,集合的笛卡尔积不叫交换次序,即AX≠xA更一般地,A1A2…**A是一组集合其笛卡尔积定义为A,=1×Azx{「rTI:AE1,2}〔2.I.132.1.2关系由集合A到集合B的一个关系配,就匙的卡尔积A×H的一个集若R=AXB.序对(a)∈R则称n与!有关系P,记为ee,关系RAX称为二元关系,周为此时其中的元由序对钩成更灬般地,若K∈]1,则称其为多元关英。例2.1.2设A一{a,b,c}B={u,b,,d,吧其笛卡尔积为AB=(,,(,b),().(,t).(bq),bb),,(冫(,),出,(qb)(qc),(,d)}如果R表示“相等关系”,则R=Yb),(c,E)}二A×F关系R4XB的定义城是A的子集,即1oia∈A:b∈,使得2..11〕其值址是郾的子集,即ange=,∈B:n∈A使得ah15倒21.3设R={(x,y):,∈R,g-2}表示一个关系,显然它是RXR的一个子粜,即面R上一条抛物线的点集。其定义域domR=R,其值域 rangeR=1={y:y:0),即l半实轴设A是灬个集台,三A×A4是某种关系下给出几种特殊二元关系的定义I)自返关系:若aA→(a,a∈R;(I)对称关系:若(,b)∈B→(b,a)EB;Ⅲ)传递关系:a,b),b)∈R=n,)∈R;Ⅳ)反对称关系:若(,b),h2n)∈→m=b;甚于以上基本的二元关系还可以定义〔V)偏序关系;若是返、传递和反对称的关系:此时称A为出R规定的编序集合;〔)全序关系:若是偏关系,H任意a,b∈A,要么(+b)∈B,要么(b,a);W)等价关系:若F是肖返、传递和对称的关系。例2.1.4设R-(,9):x,∈R,≤匚R表示平面R上包括x-9直线在内的左上半平面,它是一个二元关系:国对()!x∈R,(x,x)∈,所以R是自返的;(2)任意(,y),(,=)∈R即有“到队而有x,即:x,∈R,所以是传的(3){意(x,y),(y,)∈R,具有y,≤x,从而z=y,新以R是反称的;综合起来即证刚R是个懶序关系(即关系“≤’,或者总按偏序关系“≤”規定的R是一个偏序集合。其实,R还是一个全序关系,因为除!R编序关系外,对仁意r∈R.要么x≤,费么ysx即要么(x,y)∈界,要么(y,x)∈P例2.15设A={a,b;,d,g,R={(),(b,)仂,b),(c,q),(+b),e,c)(c,),(d,n),,n),(,4},(,b),(e,e)}4A,它是A上的一个二元关系。因为(1)!x∈A(r,x)∈R,即E是白讴的;(2)意(x,y)(y,z)∈萨即有(x,∈F即R是传递的;〔3若(x,y)(g,x)∈R,即有xy,即是反对称的;所以k是一个偏序关系。但是,为e,∈A,(e)R且(e,c)B,所以不是灬个全序关系若R实A×A是A上的一个偏序关系,则I)A的任一子集B按关系R仍是一个偏详集合,即B(BXB》∩是B上的偏序关系若B按关系R还是一个全序集合,则称其为A的个全序子集。[)设b∈4,若对x∈A均有r助,称b为A的末位元系()设a∈A若对x∈A均有Rx,称a为A的初位元Ⅳ)若b∈A对任意t∈A且l则称b为A的一个最大元素。若m∈A对任意x∈A且→=a则称a为A的一个最小元亲例2.L.6设A={7,4,23,2,5)为一有限整数粜,定义A上的一个二元关系R_{∈A,x≤y2),(4,4),(415),〔47),(4,12),(2,12)(3,3),(3,4),(35),(3;73,12),(2,2),(2,3)、(2,2(2,5),(2,7,(2,12),(5,5),(5,7〕,(苏,2)}显然,孩关系R(即“≤”),A是…个全序集合同时是A的韧位元,也是最小元:12是A的末位兀,也是最大元例2.L.725的关系星可以用图2.1.表示,共中a,即存在有向连线由x到yA的仟一子集加D一{e1b,a}按关系B仍是个偏序集合,而且此时B还是A的一个全序子集在A中按关系R,是末位元也是量大元和c均为A献最小元但A无初位元,月为e和c不存在关系R讲而,假定R是集合A上时一个编序关系,对于B4,则有M)r∈A称为由规定的B的一个上界,当且仅当图2.1.1关系R对∈B有xR。如果a是由R规定的P的一个上界,而对于由R规定的B的任意其它上界p均有aR,则称a为B的最小上界,或上确界.记为m=Lp3()a∈A称为由R规定的的一个下界,当且仅当对yr∈B有aR。如果a是由R规定的B的一个下界,而对于由R规定的B的任意其它下界A,均有山B则称t为B的最大下界或下确界,记为=infB。例2.1.8设A={z∈R:01二R为一闭区何,而B一{x∈R:.2
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psim永磁同步电动机矢量控制仿真
详细介绍了 如何用psim软件实现永磁电动机的矢量仿真Vol 16 No900系统仿真学报May 2004对永磁同步电机(PMSM)数学模型的电压方程式(4进行2.4SPWM模块abc/da坐标变换,可得dq坐标系下的电压方程式(8):正弦脉宽调制,它是以正弦波作为基准的调制波,三角0d=rid+pod-oo(8)波作为载波,当调制波与载波相交时,由他们的交点确定变4=rig+ peyd+oou频器开通的时间,从而产生等幅不等宽的脉冲波形。图8是其中SPWM变频器的控制回路,一组三相对称的正弦参考信号Og =lsig, Od=liia+OatUa、Ub、Ua与三角波参考信号U,相比较,作为三相桥臂6个功率开关元件的控制信号。式中:、口—d、q相定子磁链;a—转子磁场对定子的交链;、Ld、q相绕组申感。图5、图6中的U、U子模块的功能就是实现方程式(8),心子模块的底层结构如图5所示,U子模块的底层结构如图6所示。Kp1载波他号[Iq图8SPWM变频器控制回路图5U4子模块结构框图2.5速度控制模块速度控制模块的结构较为简单,如图9所示,输入:参考转速和实际转速的差值,输出:q相电流参考值lqrfq其中,Kp为P控制器中P(比例)的参数,KpT为P控制器中I(积分)的参数, Saturation饱和跟幅模块将输出的q相参考电流幅值限定在要求范围內。图6U子模块结构框图Ia ret23坐标变换模块坐标变换模块实现的是d旋转坐标系下的两相相电压x口Un、Ug向abc静止坐标系的三相电压Ua、Ub、U的等Kp/T效变换。与矢量控制模坎类似,d2abc模块实现的是dq两相向ab三相的变换,模块的底层结构嬗鹵7腙示,功由图9速度控制模块结构框图dq/abc电流变换方程式(9戾实现26电压逆变模块C。=Ucos6+ sine+Ucos(-120°)+Usin(-120°)+U电压逆变模块实现的是逆变器功能,输入为SPWM模U= U, cos(日+12°)+Usin(日+120°)+U块给出的逆变控制信号,输出为三相相电压。图10是电压逆变模块结构框图。该模块可采用中提供的通用逆变模块搭建,只需3对iT功率开关器件,反向并联续流二极管c根据SPWM模块给出的控制信号,控制6个开关器件顺序四导通和关断,从而产生三相相电压输出。2s0本本去J2PI/3图10电压逆变模块结构框图图7dq2abc模块结构框图C1994-2010chinaAcadcmicJOurnalElcctronicPublishingHousc.Allrightsrcscrved.http://www.cnki.nctVoL 16 No 5May 2004纪志成,等∶基于PSIM永磁同步电机矢量控制系统的仿真建模·901·3仿真结果组电感L=0.06H,转动惯量J=000179kgm2,额定转速1500rmin,极对数n=2。为了验证所设计的PMSM根据上述所建立的PMSM矢量控制系统的仿真模型,矢量控制系统仿真模型的静、动态性能,系统带负载T在PSIM6.0的仿真环境下进行了仿真,PMSM电机参数设Nm起动,得到系统转、转矩、d-q两相相电流仿真曲置为:电机功率p=500W,直流电压l=220V,定子相绕线如图114所示。组电阻R=432,定子d相绕组电感L=0027H,q相绕200013001200110015000010008v8006500003001.0000200400100t(s)t(3)图11转速响应曲线图12转矩响应曲线10016.001400-0504000.002005c01.00200300500t(s)图13d相电流波形图14q相电流波形由仿真滅形可以看出:在n=150 Or/in的参考转速下,性能威者模拟相同的实验糸件比较不同控制策喲的优劣,系统带负载启动响应快速且平稳,如两相电流波形较为理汋分析和设计永磁冋步电机控制系统提供了有效地手段和想,稳态运行时转速无静差。仿真结果证明了本文所提岀的工具,也为实际电机控制系统的设计和调试提供了新的思这种新型PMsⅥ仿真建模方法的有效性。路。结论参考文献:[I P Pillay, R Krishnan. Modeling, simulation, and analysis of本文在分析PMSM数学模型的基础上,提出了基于permanent-magnet motor drives, Part 2: The permanent-magnetPSIM的PMSM控制系统仿真模型。该控制系统采用速度环synchronous motor drive [] IEEE Trans. on Industry ApplicationsPⅠ控制和电流环矢量控制的双闭环控制方法并在1989,25(2):265-273[21 Pragasan Pillay, R Krishnan. Modeling of permanent magnet motorPSIM60 SIMCAD环境下对该控制系统进行了设计与仿真。drives[J]. IEEE Trans on Industry Electronics, 1988. 35(4): 537-541仿真结果表明:波形符合理论分析,系统能平稳运行,具有③CiP. Zhu jG.IaQ,P,ctal. Simulation of nonlinear switche较好的静、动态特性。采用该PMSM仿真模型,可以十分eluctance motor drives with PSIM[C]. Proceedings of Electrica便捷地实现、验证控制算法,只需对部分功能模块迸行替换Machines and Systems, 2001, 2: 1061-10644]纪志成薛花沈艳霞.永磁同步电机调速系统的樸糊PⅠ智能控制或修改,就可实现控制策珞的改换或改进,不仅可以节省控新方法[电工技术学报,2003,18(6:53-58制方案的设计周期,快速验证所设计的控制算法,更可以充「5Y. SJeon, H.S. Mok,G, H. Choe,cta. a new simulation model of分利用计算机仿真的优越性,通过修改系统参变量或人为加PMSM motor with rcal back EMF wavcform[C]. Procccding from入不同扰动因素来考察不同实验条件下电机系统的动、静态Computers in Power Electronics, 2000, 16-18: 217-220C1994-2010chinaAcadcmicJOurnalElcctronicPublishingHousc.Allrightsrcscrved.http://www.cnki.nct
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