线性预测及其Matlab实现，源码，程序
线性预测及其Matlab实现，源码，程序《现代电子技术》2009年第7期总第294期P测试·测量·自动化4骤(1)~(4)可对Ⅰ=1,2,…,P进行递推求解,其中:Ez=-aacorder,:)为最小均方预测误差;R为自相关系数;表示反射系数取值范围为[-1,1];a表示阶预测器的第j个系4结语数通过运算发现,其实在计算过程中,虽然目标是计算线性预测在语音处理方面的应用很广泛,而用一个p阶线性预测器的全部系数,但实际上在递推过程 Matlab来实现可以很直观地知道分析结果,为下一步中仅算出了所有除数低于p阶线性预测器的全部系数,将算法在DSP上的实现奠定基础。目前,语音处理最同时计算出了最小预测误差能量(递推式中反射系数的普遍的就是使用到网络上,而基于现代网络voIP使用取值范围是保证系统H(x)稳定性的充分必要条件,即到的语音编码中G.729正是其中一种。它的出现,使多项式A(z)的全部根都落在单位圆内用户能借助两台PC传输语音,也可以把PC上的语音从推导中得知,业(,)的物理意义可以理解为Sn转到手机上,交互式游戏爱好者们相互之间还可以借助的短时自相关函数因此,它反映了语音波形的实际情高科技控制器进行交流。况,即波形不同,值也不同然而a;的取值由更(j,i决定,并随亟(j,i的改变而改变,因此也可以说a;反映参考文獻了语音波形的实际情况3。[1]吴家安现代语音编码技术[M北京科学出版社,2008其 Matlab描述如下:[2]柏静,韦岗.一种基于线性预测与自相关函数法的语音基音function z=durbin(y, order)周期检测新算法[]电声技术,2005(8):43-46R=zeros(1, order+1)[3]王涌何剑春,刘盛新型的神经网络线性预测语音编码算aa=zeros(order, order)法[J].浙江工业大学学报,2007,35(2):65-68parcor=zeros (l,order),%autocorrelation[4]薛年喜. Matlab在数字信号处理中的应用[M].2版北京:N=size(y, 1);清华大学出版社,2008for h=l: order+1R(h)=0;[5]朱蓉,黄冰EVRC语音编码算法研究及仿真[].现代电子技术,2006,29(2):47-50R(h)=R(h)+y(f)*y(f-h+1)[6]范晶,和应民,王桂梅24Kb/s混合激励线性预测语音编end码的研究[].牡丹江师范学院学报,2007(4):13-14.parcor(1)=R(2)/R(1),[7]丛键,张知易.一种600b/s极低速率语音编码算法[].电aa(1,1)=parcor(1)E=(1- parcor(1)2)*R(1);子与信息学报,2007,29(2):429-433.for h=2: order[8]论:VoP语音技术与传统网络的融合发展LEB/OL]for f=1:h-1http://voip.microvoip.com/market/m1/200803/61433.ht-temp=temp+aa(h-1, f*R(h-f+1);ml,2008,endparcor(h)=(R(h+1)-temp)/%反射系数[9]语音技术在Internet上的新应用Leb/Ol].http://nc.mofaa(h, h)=parcor(h)com. gov. cn/news/1056746. html, 2006.for f=1:h-1aa(h, f)=aa(h-1, f)-parcor(h)* aa(h-l,h-f),[10] Rapidshare Advances in audio and Speech Signal ProcessingteChnologiesandApplications[db/ol].http://rapE=E*(l-parcor(h)2),idshare. com/files/31791068/IGI. rar. html, 2007end(上接第125页)Organic Optics and Optoelectronics[A]. IEEE/LEOS Sum参考文献s[C].1998[1]吴仲城多维力传感器设计及信号分析方法研究[D]北京:[4]熊幸果,陆德仁微力微位移的天平测试方法[J传感技术中国科学院等离子体物理研究所,2001学报,1997,10(2):47-52[2] Texas Instruments. MSC1210 Users Guide[z]. 2002.[5]洪跃,金士良新型微位移电容式传感器的研制[门.上海大[3]Sawada R, Higurashi E. Integrated Micro -displacement学学报,1995,1(6):652-657.Sensor that can be incorporated into Mini3- dimensional[6]胡永建,王晓梅基于MSC120的多路高精度温度采集系Actuator Stage. Broadband Optical Networks and Technolo-统模块[].电子技术应用,2003,29(7):36-38gies: An Emerging Reality/Optical MEMS/Smart Pixels/ [7J Texas Intruments MSC1210 Data SheetLzJ作者简介沈春山硕士研究生。主要研究方向为机器人传感器。135线性预测及其Mat1ab实现旧WANFANG DATA文献链接作者:曹华,李伟,谭艳梅, CAO Hua, LI Wei, tAN Yanmei作者单位:西机电职业技术学院,广西,南宁,530007刊名:现代电子技术sTe英文刊名:MODERN ELECTRONICS TECHNIQUE年,卷(期)2009,32(7)被引用次数1次参考文献(10条1.吴家安现代语音编码技术2002.柏静.韦岗一种基于线性预测与自相关函数法的语音基音周期检测新算法[期刊论文]电声技术2005(08)3.王涌何剑春.刘盛新型的神经网络线性预测语音编码算法[期刊论文]浙江工业大学学报2007(02)4.薛年喜 Matlab在数字信号处理中的应用20085.朱蓉.黄冰EVRC语音编码算法硏究及仿真[期刊论文]现代电子技术2006(02)6.范晶.和应民.王桂梅2.4Kb/s混合激励线性预测语音编码的研究2007(04)7.丛键.张知易一种600b/s极低速率语音编码算法[期刊论文]电子与信息学报2007(02)8.论:VoIP语音技术与传统网络的融合发展20089.语音技术在 Internet上的新应用200610. Rapidshare Advances in Audio and Speech Signal Processing: Technologies and Applications 2007相似文献(10条)1.学位论文鄂慧颖G.729语音编码算法的研究2007语音压缩编码技术是数字通信技术中非常重要的部分。随着通信、计算机网络等技术的飞速发展,语音压缩编码技术得到了快速发展和广泛应用CELP编码是上世纪八十年代发展起来的一种有效的语音压缩编码方案,现已广泛地应用于集群通信、多媒体通信以及IP电话通信中。G.729协议是CELP编码方案的一个特例,它是ITU-T推荐的语音压缩编码中最复杂的一种,它使用了当前语音压缩编码的各种先进技术,计算量较大,但是其编码合成语音质量较高,具有很高的研究价值。本文首先对G729协议的编解码方案及协议中应用的关键语音编码技术进行了剖析,在对G.729协议编码方案进行深入研究的基础上,对矢量量化算法进行了优化,减少了矢量码本搜索的复杂度,加快了矢量码本搜索速度;对固定码本搜索算法进行了改进,提出了一种自适应子矢量共轭结构代数码本激励算法,该算法保持了G.729共轭结构代数码本的优点,使编码传输速率从原来的&kbps降低倒η.2kbps,压缩了传输带宽,更重要的是,它的算法复杂度仅为原G.729固定码本搜索算法复杂度的1/2左右:最后,本文用 MATLAB搭建了编码器仿真平台,对改进算法进行了验证,仿真结果表明,改进后的编码器在降低算法复杂度和传输速率的前提下,译码合成语音质量仍然较髙,具有较好的可懂度、清晰度和自然度2.期刊论文汤婕多脉冲激励线性预测声码器的仿真实验分析一科技与生活2010,""(3本文主要介绍了用 MATLAB工具实现多脉冲激励线性预测( MPLPC)声码器.首先概述了多脉冲激励线性预测声器的编码方法,并用 MATLAB做了仿真实现先对语音信号进行线性预测分析,然后利用分析合成法对语音信号进行重构,并用到了量化编码.3.学位论文范晶混合激励线性预测语音编码的算法研究2008随着通信技术以及互联网语音实时传输技术的迅速发展,对语音的传输速率和存储容量都提岀了很高的要求,解决这些问题的主要途径之一就是语音编码。因此,语音编码的硏究,特别是低速率语音编码的研究,具有十分重要的实用意义在现有的语音编码硏究中,混合激励线性预测语音编码(ELP)是一种比较好的方法,它结合了二元激励、码激励和多带激励的优点,将短时语音段划分为若干子带,在每个子带中分别进行清浊音判别:在合成端,采用周期性脉冲序列和随机噪声的混合序列去激励语音合成滤波器,能在较低的码率下得到较好的再生语音。2.4kbps混合激励线性预测语音编码已经被确立为美国新的联邦语音编码标准本论文通过研究MELP的语音编解码算法的原理,对它的编解码过程做了比较深入的研究,我们发现在基音周期及线性预测系数量化这方面还可以进一定的改进。在标准MLP的算法中,对于那些包含有不规则周期的语音信号段,计算得到的互相关值较小,把它误认为是清音,因此会引入噪音。在这里采用了一种改变基音周期的算法,使基音周期的计算更加精确。此外,在对LSF进行量化的过程中,其码本的存储量与计算的复杂度都很大。针对于这一问题,我们提出了三级矢量量化的方法,从而可以把MLP的码率降到2.1kbps左右,仍有较好的合成语音质量本文最后在 MATLAB编程环境下对歴LP算法及其改进后的MELP算法进行了仿真,仿真结果表明经过解码后的语音信号及其改进后语音信号的输岀波形与原始语音信号的波形很相似,只是在能量较大的浊音段合成语音波形有相对较大的幅度以及有一定的时延,从而验证了该算法的可行性4.期刊论文修其丽. XIU Q1-1ⅰ多脉冲激励线性预测声码器设计与 Matlab仿真-烟台职业学院学报2006,12(3)由于在多脉冲激励线性预测声码器中要一次得到所有脉冲的位置和幅度是非常困难的,因此次优的序贯搜索方法被采用,即一次得到一个脉冲.用Matlab仿真观察合成语音效果是可以接受的5.学位论文杜志鑫基于MELP低速率语音编码2008作为低速率语音编码的一种重要算法,MELP( mixed excitation linear prediction)算法是其中一种非常优秀的编码方法,它在原有的LPC( linearprediction coder)编码的基础上,结合混合激励、多带激励、线性预测、矢量量化以及原型波形内插等编码方法的诸多优点,采用了一种新的更为符合人发音机制的语音生成模型来合成语音,并运用自适应频谱増强等技术,提髙合成语音与原始语音的匹配度,从而较好的实现了低码率的语音编码本论文通过研究MELP的语音编解码算法的原理,对它的编解码过程作了比较深入的研究,对其中的一些公式进行了理论推导,并作了仿真分析,最后研究了该算法的 MATLAB语言实现。在对混合激励(MELP)算法进行了深入研究后,在本文最后选取一种800bit/s的语音编码方案。6.期刊论文龙银东.刘宇红.敬岚.乔卫民. LONG YINDONG. LIU YUHONG. JING LAN. QIAO WEIMIN在 MATLAB环境下实现的语音识别-微计算机信息2007,23(34)介绍了一种基于 MATLAB的多个特定人连接词语音识别的方法,并提出了在进行端点检测时,引入平均的概念能进一步提高识别率.此设计是以LPC系数、DIw算法为核心的基于图形界面的设计.通过大量的实验测试,表明该方法基本达到屏蔽外界环境的影响,具有非常高的精度识别7.学位论文赖长庆混合激励线性预测声码器算法的研究2003该文以美国联邦标准2.4 kbps--MELP算法为基础,在 MATLAB上建立起了分析MELP算法的软件平台,对其性能进行了分析并提出了一些改进的建议;另外还针对MELP算法的特点对其软硬件实现进行了探讨.该文的第二章介绍了MELP声码器模型的原理,对其特征进行了详细的阐述,重点分析了各个特征的本质及其能够对提高合成语音质量起到的作用.第三章详细介绍了MELP声码器的基本算法,对其中采用的一些先进的技术手段如多级矢量量化(MSVQ)、高分辨率基音检测方法( SRPDA)等进行了重点的讲述.另外还对MLP声码器中使用的一些技术进行了实验分析,检验其效能.第四章利用在 MATLAB上搭建的分析平台上对语音信号进行了编解码的试验,分析了歴LP声码器的各种特征在语音编码中起到的作用.最后针对MLP声码器的特点,对其软硬件实现提岀了建议8.学位论文刘斌 HYBRID- MELP/CELP语音压缩编码算法的研究2005语音压缩编码技术是信号处理技术的一个重要的组成部分,它使用了信号处理领域大量从基础性到前沿性的思想、理论和实践方法.作为信号处理的主流学科之一,它的发展也一直是信号处理技术发展的重要促进力量.当今语音压缩编码算法主要分为侧重于对谱参数编码和侧重于对时间波形编码的两个大的算法类型.混合激励线性预测MEP编码算法和码激励线性预测CELP编码算法是这两大类算法的主要代表.MLP算法的主要特点是使用了多帶淸浊音判决,并且根据各频帶淸浊音的相对强度将清音成分和浊音成分按比例混合起来产生线性预测激励,其中的浊音激励成分采用傅立叶谱幅度的方法来表示CELP算法的主要特点是不区分语音信号的清浊音类型,而是统一使用基于AbS原理的时域波形匹配方法来产生线性预测激励,且该激励信号通过矢量码本来表示.本文讨论了MELP和CELP算法的原理和具体实现方法,并且基于 Matlab,主要是基于其 Simulink工具对两种算法进行了仿真实现针对MELP算法中基音提取相对繁琐的特点,本文提出了一种简化的MELP基音提取算法9.期刊论文纪友芳.刘桂斌. JI You-fang. LIU Gui-bin一种改进的线性预测语音编码技术及实现-计算机工程与应用2009,45(15)线性预测编码是实现语音编码的一项重要技术,介绍了线性预测编码技术的实现,提岀一种改进型的声激励线性预测语音编码方法.最后,将简单LPC语音编码与声激励LPC语音编码进行比较.实验结果表明,该方法能够很好地实现语音编码,声音效果也比简单LPC更理想.10.学位论文巫洪伟4kb/s代数码本激励线性预测语音编码的算法研究2007随着通信技术以及互联网语音实时传输技术的迅速发展,对语音的传输速率和存储容量都提岀了很高的要求,解决这些问题的主要途径之一就是语音编码码本激励线性预测(CELP)是国际公认的中速率下最成功语音编码算法,CELP算法能够提供中速率髙质量的合成语音,但是当编码速率降至4kb/s以下时语音质量明显下降。为了提高量化效率,必须増加激励矢量的长度,这时还用很少的符号脉冲来描述激励信号就会导致语音质量的急剧下降,这也就是传统的CELP算法在4kb/s编码速率以下质量难以提高的根本原因为此本文主要致力于研究在较少比特情况下优化代数码本激励,在G729算法的基础上,以20ms为一语音帧进行编解码,使传输速率降为G729语音编码算法的一半,从而提岀了一种具有较短延时和较低运算量的4kb/s脉冲散布代数码本激励线性预测算法。首先,根据G729算法的固定码本代数结构,设计了一种新的固定码书的代数结构,以降低算法的复杂度。然后,引进脉冲散布技术,对固定码本矢量进行散布处理,设计截止频率为3400Hz的有限冲击响应(FIR)低通滤波器实现脉冲散布技术本文最后在 MATLAB编程环境下仿真算法的性能,仿真结果表明经过解码后的语音信号输岀的波形与原始语音信号的输入波形很相似,只是在能量较小的清音段合成语音波形有相对较大的幅度以及有一定的时延,从而验证了算法的技术性能。文献(1条)1.雷翔霄.徐立娟智能软化击穿仪温控系统的设计与实现[期刊论文]现代电子技术2010(1本文链接http://d.g.wanfangdata.comcn/periodiCalxddzjs200907041.aspx授权使用:国防科技大学( gfk jdx),授权号:0e40ddb5-a6ff-4c0d-b44-9ec012765bf下载时间:2010年9月9日
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泛函分析及其在自动控制中的应用
泛函分析及其在自动控制中的应用，韩崇昭，1991控制理论所硏究的闩越,可以概括为系统分析、系统踪合建模和优化。系统分包括系统的稳定性分析能控能观性分析、鲁棒性分析等,主要是分用以描述系统行为的算子的特生。传统的分析方法是实用的但只限于某些特定的系纯类型.例如传统的枫域分忻法只阳于讨论单输入单输出约线性定常橤统,而泛函分析所提供的分析方法,有可能村包括多输入多输出线性时变系统、分和参觐线性系统,以及某忠类型的柞线性系统进行统…的处理,从而获得更加一般的论。系统的综合包插挖湖器和补偿器的设计等,使系流得以镇定或获得某种性能,这是分析的逆河题。传统的综合屴沄礻仪费时费事丶而且解决问题的范園比较狭窄:现代的综合方法倾向干构造能用计算机灾现的某些算法迭代算法或递推算法的收敏性分析,以及闭环控制的稳定性分衔等,只有借助泛图分析所提供的工其,才有可能使问题得以解决系统建撓和系统的最优控制,一般是在某些约束条件下,对某个泛函拈标进行优化的问题,这更是泛函分析研究惹围闪的问题绕上所泛函分析已渗逶到控制理论和系统科学的各个分支。“饿夯千里日,更上一层楼”,控制斑论研究者只冇掌握泛函分析这…工具,才有可能…览当令研究潮流中“群峰竞秀,万水争流"“的局面第二章代数基础鉴于工科人学亩动控制类专业研究生#不具备系统的拙象代数的知识,而泛函分析这门课程又经带涉及抽象代数的某些基本慨念,所以首先在本章对必要的代数基础知识进行简要介绍,作为学习泛函分枥的预备知识。§2.]集合与映射2.1.1集合集合是数学上最基本門概念,难以绐出确切的定义:一般说:所谓集合就是指具有其种属性的事物全体。构成集合的每个事物称为该集合的元蓊。果合也简称集,其元素也简称元集合可用列其历有元素或江明其暑性来表示如A=i1,nz,…,n},A={a:a具有属性P}如果个集合由有限多个元构成,称之为有限集;如果由无限多个元构成,称之为元限集不含汪何元素的集合称为空集记为这,只含一个元的集合称为单点集。用r∈A表示“?是4中的元”或a属于A”;用a表示a不是A中的元"哎“a不属于有两个集合A和B:若A中的所有元到为B中的元,则称为A是B的子集或A蕴含于B哎包含A,记为A≌或BA任集A必是共自身的了集,而空集又是仕意集A的子集若集A是集R的子集:而B中至少有一个元不屑于4,则称A是程的真子集,或B真包含A,记为心二BBA。若集A是集B的了集,且B也是A的子策,闻称集A与集B相等,记为A=B2这个定义也经出用作集合相等的证明方法即任取∈A,得x∈B则推知4≌B;其次任取xB证得∈小则描知B≌A;从而证明A=B。在以后的证明中,我打经常采用某些撰用符号:“"表示“所有的",“彐"表示“存在”,“→“表示“由左面的结论推出岩面的结论”“台”表示左右两面相互推出”以柴合为元素的集合秋为集类。如字={A,B,C}其中的元A,B,C均是集合,是集类。A、B两个集合的所有元素共同构成的集合称为A和B的并集,记为AUB={2:x∈A或x∈开2。1,2桌合A1,A:;…,A的并業定义为U4=A∪AU…∪4一{x:xEA,或x∈A,“x∈A}(2.1.3)A、B两个集合的公共元素构成的集合称为A和B的交集,记为A∩B={x:x∈A且芏.B〔2.I.4集合A1,A2,A的交集定义为门A=A∩A∩“∩A={x:x∈A且x∈12“且xEA}(2.!5如果集合A与集合升没有公共元家,即A∩B=C,则称A与R不相交。属于集A而不属于集B的所有元构成的集合称为A与B的差集记为AB={xgxA旦x2.⊥,5巢合A和F的对称差记为A△B-(APU(4)2.7设U是一↑特定的集合,AS;称EA为A关于U的补集.记为A此时有AUA=UA∩A=2.1蘸2..9对于集类也可以定义并、交运算。设是一个集类其元的并和交分别为U{BB∈}={z:B∈郾,使z∈B2.1.10∩{B:B∈}{x;B∈密,使r∈乃2.1.11)例211设R表示实数集,R=RXR表示实数序对(x,y)的集合,集合A={(x,g)mx;∈R固定}表示欧氏平面R2上y=m直线上的总集;所有这些集合(直线〕构成一个集类x={A:mER在此情况下,集类m的交集为∩ FRA={(0,0)},即R的坐标原点;其并集为∪v∈RA=R2{0,y):|l|>0}即除去坐标纵轴但保留坐标原点整个R2平面。前面绐出的集合运算具有如下性质〔1)幂等律:AA=A,A∩A=4;〔)交换律:AB=BJA,A∩B-B∩A;I)结合律:A∪(BU)=(4∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C;Ⅳ)分配律:4U(B∩C)=(AUB∩(AUc),A(BUC)-(Anu(A门〔V)恒等律:A∪C=A,A∩U=手AUC=[, A=另外还有一些恒等关系式Ⅵ) de morgan律:A(B)-(AB)∩AC),A(BNC)=(AB)U:A〔〕对偶律:(UAA,(∩A=UⅧ)互补律:AAU,A∩A=8下面只证明(W)和(W)其余留给读者验证W)的证明:∈A(B)∈A,(BC)∈AB且x∈C∈AB且tAr∈AB)n(4C)同理可证第二式。()的证明;*∈(∪A)=∈U,艺点UA+2A且2年A1“且卖Az∈出且x∈A」且x∈术台∈∩4:同理可证第二式渠合A和B的笛卡尔积就是由序对构成的集∈Ab∈2.1,12儿素n和b称为序对(a,b)的分量。如果两个厅对的对应分垤相等则称其相等例如,(x,y)z(n-a,且y一b般情况下,集合的笛卡尔积不叫交换次序,即AX≠xA更一般地,A1A2…**A是一组集合其笛卡尔积定义为A,=1×Azx{「rTI:AE1,2}〔2.I.132.1.2关系由集合A到集合B的一个关系配,就匙的卡尔积A×H的一个集若R=AXB.序对(a)∈R则称n与!有关系P,记为ee,关系RAX称为二元关系,周为此时其中的元由序对钩成更灬般地,若K∈]1,则称其为多元关英。例2.1.2设A一{a,b,c}B={u,b,,d,吧其笛卡尔积为AB=(,,(,b),().(,t).(bq),bb),,(冫(,),出,(qb)(qc),(,d)}如果R表示“相等关系”,则R=Yb),(c,E)}二A×F关系R4XB的定义城是A的子集,即1oia∈A:b∈,使得2..11〕其值址是郾的子集,即ange=,∈B:n∈A使得ah15倒21.3设R={(x,y):,∈R,g-2}表示一个关系,显然它是RXR的一个子粜,即面R上一条抛物线的点集。其定义域domR=R,其值域 rangeR=1={y:y:0),即l半实轴设A是灬个集台,三A×A4是某种关系下给出几种特殊二元关系的定义I)自返关系:若aA→(a,a∈R;(I)对称关系:若(,b)∈B→(b,a)EB;Ⅲ)传递关系:a,b),b)∈R=n,)∈R;Ⅳ)反对称关系:若(,b),h2n)∈→m=b;甚于以上基本的二元关系还可以定义〔V)偏序关系;若是返、传递和反对称的关系:此时称A为出R规定的编序集合;〔)全序关系:若是偏关系,H任意a,b∈A,要么(+b)∈B,要么(b,a);W)等价关系:若F是肖返、传递和对称的关系。例2.1.4设R-(,9):x,∈R,≤匚R表示平面R上包括x-9直线在内的左上半平面,它是一个二元关系:国对()!x∈R,(x,x)∈,所以R是自返的;(2)任意(,y),(,=)∈R即有“到队而有x,即:x,∈R,所以是传的(3){意(x,y),(y,)∈R,具有y,≤x,从而z=y,新以R是反称的;综合起来即证刚R是个懶序关系(即关系“≤’,或者总按偏序关系“≤”規定的R是一个偏序集合。其实,R还是一个全序关系,因为除!R编序关系外,对仁意r∈R.要么x≤,费么ysx即要么(x,y)∈界,要么(y,x)∈P例2.15设A={a,b;,d,g,R={(),(b,)仂,b),(c,q),(+b),e,c)(c,),(d,n),,n),(,4},(,b),(e,e)}4A,它是A上的一个二元关系。因为(1)!x∈A(r,x)∈R,即E是白讴的;(2)意(x,y)(y,z)∈萨即有(x,∈F即R是传递的;〔3若(x,y)(g,x)∈R,即有xy,即是反对称的;所以k是一个偏序关系。但是,为e,∈A,(e)R且(e,c)B,所以不是灬个全序关系若R实A×A是A上的一个偏序关系,则I)A的任一子集B按关系R仍是一个偏详集合,即B(BXB》∩是B上的偏序关系若B按关系R还是一个全序集合,则称其为A的个全序子集。[)设b∈4,若对x∈A均有r助,称b为A的末位元系()设a∈A若对x∈A均有Rx,称a为A的初位元Ⅳ)若b∈A对任意t∈A且l则称b为A的一个最大元素。若m∈A对任意x∈A且→=a则称a为A的一个最小元亲例2.L.6设A={7,4,23,2,5)为一有限整数粜,定义A上的一个二元关系R_{∈A,x≤y2),(4,4),(415),〔47),(4,12),(2,12)(3,3),(3,4),(35),(3;73,12),(2,2),(2,3)、(2,2(2,5),(2,7,(2,12),(5,5),(5,7〕,(苏,2)}显然,孩关系R(即“≤”),A是…个全序集合同时是A的韧位元,也是最小元:12是A的末位兀,也是最大元例2.L.725的关系星可以用图2.1.表示,共中a,即存在有向连线由x到yA的仟一子集加D一{e1b,a}按关系B仍是个偏序集合,而且此时B还是A的一个全序子集在A中按关系R,是末位元也是量大元和c均为A献最小元但A无初位元,月为e和c不存在关系R讲而,假定R是集合A上时一个编序关系,对于B4,则有M)r∈A称为由规定的B的一个上界,当且仅当图2.1.1关系R对∈B有xR。如果a是由R规定的P的一个上界,而对于由R规定的B的任意其它上界p均有aR,则称a为B的最小上界,或上确界.记为m=Lp3()a∈A称为由R规定的的一个下界,当且仅当对yr∈B有aR。如果a是由R规定的B的一个下界,而对于由R规定的B的任意其它下界A,均有山B则称t为B的最大下界或下确界,记为=infB。例2.1.8设A={z∈R:01二R为一闭区何,而B一{x∈R:.2
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